Demonstrativo do Capítulo 2  

DINÂMICA RETILÍNEA NO REFERENCIAL INERCIAL (pág 19 a 52)
 

As leis de Newton são o pilar de sustentação da Mecânica. Elas descrevem o movimento dos corpos, tanto no céu como na Terra, descrevem as órbitas dos planetas, prevêem a existência de novos planetas e explicam o fenômeno das marés.  Ainda assim, por mais brilhantes que sejam as três  leis de Newton, é preciso cautela ao interpretá-las  e aplicá-las.  

A 1ª lei de Newton estabelece que  todo corpo  livre da ação de forças  permanecerá em seu estado de repouso permanente (v = 0) ou de movimento retilíneo e uniforme, até que alguma força  atue sobre ele  e altere seu estado de  equilíbrio. 

Esse repouso ao qual a lei da inércia se refere, entretanto, é em relação a
quem ?  Afinal, sabemos que um móvel pode estar em repouso num referencial, mas em movimento em outro referencial.  Você já havia pensado sobre isso ? 

A segunda lei de Newton, por sua vez,  estabelece que a força resultante  F_R,  agindo sobre um corpo de  massa   m, proporciona a  ele uma aceleração  a  tal que:

a  = 

Sabemos, porém, que um móvel pode estar acelerado  num referencial, mas  estar não acelerado em outro referencial.  A expressão da segunda lei de Newton fornece a aceleração  do móvel em qual referencial ?  Você já havia pensado sobre isso ?  

Em geral, os livros-textos de Física  não deixam bem claro para o estudante o fato de que  as leis de Newton têm sua validade  restrita  ao chamado referencial inercial, cujo conceito é bastante sutil, requerendo atenção e concentração especiais por parte do leitor  para assimilá-lo de forma eficaz.

Nesse capítulo, investigaremos o conceito de referencial inercial e faremos uma análise comparada entre os referenciais inerciais e não inerciais, buscando esclarecer de que maneira as leis de Newton falham nestes últimos.

No capítulo 4, aprenderemos o Princípio da Equivalêcia de Einstein, que nos ajudará a aplicar as leis de Newton com sucesso, mesmo nos referenciais não inerciais.

Um referencial ou sistema de referência  pode ser  formalmente definido como um sistema de coordenadas cartesianas em relação ao qual são tomadas as medidas de posição XYZ, velocidade e aceleração de um móvel. Deixando de lado o formalismo matemático, podemos simplificar, considerando como referencial um simples observador que avaliará a cinemática e a dinâmica do móvel, medindo as grandezas físicas relevantes para  o estudo do fenômeno em questão.

Por definição,  um referencial é  dito inercial quando nele se verifica a lei da inércia e, por extensão, a segunda lei  de Newton.

Para verificar se um dado referencial é inercial, alguns testes experimentais diretos podem ser realizados em primeira aproximação.

Por exemplo, a Figura 1 mostra dois sistemas de coordenadas cartesianas:  o sistema XYZ, fixo ao solo, e o sistema X’Y’Z’, fixo a um vagão, que pode se mover sobre trilhos retos e horizontais. O vagão,  assim como a bola que se encontra sobre o seu piso, está inicialmente em repouso em relação  à Terra (referencial XYZ). Sobre a bola agem apenas as forças peso P  e normal N, visto que os atritos são desprezíveis.  Qual será o  comportamento da bola, no referencial da Terra, quando o vagão partir  do repouso com aceleração a  constante na direção horizontal X ?

Ora, para o referencial da Terra (Figura 1), o vagão irá  se mover acelerado para a direita, mas a bola permanecerá em repouso, isto é, suas coordenadas XYZ  permanecerão inalteradas com o passar do tempo.  Isso está de acordo com a lei na inércia.  Afinal, se nenhuma força  horizontal está agindo sobre a bola, ela deve permanecer indefinidamente em repouso nesse referencial.  Dessa forma, dizemos que o referencial XYZ (referencial da Terra) é  inercial, visto que a lei da inércia é verificada nesse referencial.

Por outro lado, qual será o  comportamento da bola, no referencial do vagão,  quando este partir  do repouso com aceleração a  constante na direção horizontal  X ?

Ora, para o  observador no referencial do vagão (Figura 2), a bola partirá do repouso e se moverá  com aceleração  a’ = a  no sentido oposto ao do eixo X.  Em outras palavras,  a coordenada  X’  da  bola irá diminuir aceleradamente, com o passar do tempo, no referencial X’Y’Z’.

Esse comportamento notavelmente viola  a Lei da Inércia.  Afinal, se nenhuma força (de interação)  horizontal  age sobre a bola, no referencial  do vagão,  como pode ela sair do repouso e passar a se mover aceleradamente  para trás ?  Esse comportamento mostra que esse  vagão acelerado em relação  à Terra (bem como o observador em seu interior)  não se trata de um referencial inercial.  Dizemos que ele é um referencial  não inercial.

Outro teste simples pode facilmente confirmar o caráter não inercial do referencial do vagão: pendure um pêndulo simples ao teto desse vagão, enquanto este move-se com aceleração constante  a  no referencial  XYZ da Terra (Figura 3). Ajuste convenientemente a inclinação do fio do pêndulo, de forma que ele não oscile, durante o movimento acelerado do vagão em trajetória retilínea horizontal.

Qual será o  comportamento da bola, no referencial da Terra, quando o vagão partir  do repouso com aceleração a  constante na direção horizontal  X ?

Ora, no referencial da Terra (Figura 3), a bola  estará se movendo  para a direita, numa trajetória retilínea horizontal, compartilhando da mesma aceleração  a  do vagão nesse referencial. O observador da Figura 3 entende perfeitamente a  dinâmica desse movimento da bola, com base nas forças que agem sobre ela:

·     a bola move-se em trajetória retilínea horizontal, o que implica uma ausência de aceleração vertical, isto é, um equilíbrio de forças verticais. Assim, a componente vertical T_Y  da tração  deverá cancelar o peso :  T_Y ­  =  P ¯. 

·     a aceleração horizontal   “® a”   da bola  é  proporcionada  pela componente horizontal T_X ® da tração. A segunda lei de Newton  permite escrever:  
F_R  =  T_X  =  m. a.

Por outro lado, qual será o  comportamento da bola no referencial do vagão, quando este  partir  do repouso com aceleração a  constante em relação à Terra  na direção horizontal  X  ?

Ora, para o  observador no referencial do vagão (Figura 4), a bola, assim como o vagão, se encontra em repouso permanente  v’ = 0,  a’ = 0  (usaremos  o símbolo linha  “ ’ ”  para  designar grandezas medidas  no referencial acelerado).  Em outras palavras, as coordenadas X’Y’Z’  da bola não mudam  com o passar do tempo nesse referencial.

De acordo com a segunda lei de Newton (F_R = m. a’), todavia, para que a bola do pêndulo esteja em equilíbrio (a’ = 0), é  necessário  que  a  força resultante agindo sobre a bola seja nula, condição essa que não está sendo satisfeita, visto que  a tração T  e o peso  P  não possuem a mesma direção e sentidos opostos a fim de se cancelarem. 

Assim, vemos que, embora  a  força resultante agindo sobre a bola não seja nula (F_R ¹ 0), a  aceleração  a’  da bola  é nula  no referencial do vagão, violando  a  segunda lei de Newton   F_R = m. a’.   Desta forma,  verificamos, mais uma vez, que o referencial  do  “vagão acelerado” não é inercial, visto que  as leis de Newton não são satisfeitas nele.  Dizemos que ele é um referencial  não inercial.

Propriedade 1:   as leis de Newton  só são válidas em referenciais inerciais.

Segue abaixo uma amostra de algumas questões que constam no Capítulo 2

(Dinâmica Retilínea no Referencial Inercial)

O autor procura explorar questões bem no estilo IME ITA, diferentes das questões clássicas convencionais.

(O símbolo Ð indica que "questão resolvida no final do livro")

(O símbolo Ïindica "questão para treinamento do estudante, baseada em questões que a antecedem. Contém a resposta no final do livro")

No sistema representado na Figura, os fios e as polias são ideais, não há atrito e as massas dos blocos A, B e C são respectivamente iguais a 15kg, 10kg e 24kg. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s². Sendo a_A, a_B e a_C os módulos das acelerações dos blocos A, B e C, respectivamente, determine:

a)  os valores de a_A, a_B e a_C; e

b)  o módulo da tração no fio que está ligado ao bloco A.

A Figura mostra duas polias fixas ao teto e uma polia móvel, todas de massas desprezíveis. Se as massas das caixas a, b e c valem, respectivamente,
3 kg, 2 kg e 1 kg, o prof. Renato Brito pede para você determinar as acelerações de cada uma das caixas, indicando o sentido. Adote g = 10 m/s² e despreze atritos.

Na Figura, os fios e polias são ideais e as massas m₁, m₂ e  m₃  são conhecidas. Se a gravidade local vale g, pede-se determinar a aceleração de cada caixa.

Na Figura, os fios e polias são ideais e as massas m₁, m₂ e  m₃  são conhecidas. Se a gravidade local vale g, pede-se determinar a aceleração de cada caixa.

A Figura mostra dois blocos A e B ( m_A = 2 kg, m_B = 6 kg ), puxados por uma força F de intensidade F = 14 N  sobre  um solo liso.  O prof. Renato Brito pede para você determinar ( g = 10 m/s²) :

a) a aceleração de cada bloco;  e b) a tração no cabo.

Determine a aceleração da barra A  e da cunha  B  na Figura abaixo, sabendo que  a razão entre as massas  m_B e m_A  vale  h,  a gravidade local vale  g  e  todos os atritos são desprezíveis.

Sejam dois cubos idênticos de mesma massa m₁ = 3 kg e uma cunha de massa m₂ = 2 kg e seção triangular equilátera simetricamente posicionada entre eles.  Desprezando-se todos os atritos, pede-se determinar a aceleração vertical adquirida pela cunha, quando o sistema for abandonado a partir do repouso
( g = 10 m/s²).