Demonstrativo do Capítulo 3

DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO NO REFERENCIAL INERCIAL

 

 

3.1   DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO

A Figura a seguir mostra a velocidade de um móvel durante o seu movimento ao longo de uma trajetória sinuosa. Percebemos que, a cada instante, a velocidade do móvel é tangente à trajetória, apontando na direção que ele seguiria a partir daquele instante, caso prosseguisse em linha reta.

 

Figura 22 – A velocidade do móvel molda-se à trajetória, permanecendo tangente a ela em cada ponto. Assim, a velocidade varia em direção ao trecho curvilíneo, mantendo uma direção constante no trecho retilíneo.

Assim, em todo o trecho curvilíneo, a velocidade do móvel vai se moldando à trajetória, mudando a direção de acordo com o formato da curva. No trecho retilíneo, entretanto, essa velocidade não muda mais a direção, permanecendo alinhada à trajetória.

Sendo, a velocidade uma grandeza vetorial, qualquer mudança em sua direção, sentido ou valor é suficiente para dizermos que esta grandeza está variando. Assim, todo movimento curvilíneo é caracterizado por uma velocidade V  variável, no mínimo em direção, implicando que uma aceleração deve estar presente. Em outras palavras, todo movimento curvilíneo é acelerado, visto que uma aceleração está presente para variar a velocidade do móvel.

O vetor aceleração indica, a cada instante, em qual direção e com que rapidez a velocidade do móvel será alvo de variações. Assim, se no presente momento a velocidade do móvel é representada pelo vetor , qual será a velocidade dele  após um intervalo de tempo Dt ?  A velocidade será representada pelo vetor , tal que:


 

Após um novo intervalo Dt, a velocidade do móvel  passará de para , tal que:

E assim por diante, após um novo intervalo Dt, a velocidade do móvel  passará de  para , tal que:

As Figuras acima mostram graficamente essas operações matemáticas. Assim, a cada intervalo Dt, a velocidade  do móvel recebe um acréscimo na mesma direção e sentido do vetor aceleração

Figura 23 – A trajetória de um móvel será  retilínea sempre que a sua aceleração apontar na mesma direção da sua velocidade.

Assim, se o vetor aceleração  do móvel estiver sempre na mesma direção e sentido do vetor velocidade , as sucessivas velocidades , , , .. atingidas pelo móvel serão vetores que apontam numa direção constante, significando que a trajetória seguida pelo móvel será retilínea (Figura 23). Não haverá mudanças na direção do seu movimento, visto que não há mudanças na direção da velocidade do móvel à medida que o tempo passa.

Mas como será o comportamento da velocidadedo móvel, caso a sua aceleração não aponte na mesma direção da sua velocidade ?

Quando um projétil é lançado horizontalmente com velocidade inicial , ele recebe a ação de uma aceleração vertical constante = chamada aceleração da gravidade. Assim, a sua velocidade será objeto de sucessivas variações  na direção vertical (Figura 24), de forma que a trajetória seguida pelo móvel vai gradativamente encurvando para baixo, na direção do vetor , como mostra a Figura 25.

 

 

Figura 24 – a velocidade vetorial do móvel é alvo de sucessivos acréscimos verticais para baixo, sempre na mesma direção e sentido da aceleração que atua sobre ele.

Do exposto até aqui, concluímos que o formato da trajetória seguida por um móvel está intimamente relacionado ao fato de os vetores velocidade  e aceleração  apontarem numa mesma direção  ou  não. 

A trajetória será retilínea sempre que os vetores  e  apontarem numa mesma direção, independente dos seus sentidos; será curvilínea quando  e  apontarem em direções diferentes.

O leitor precisa atentar para o fato de que os vetores que ilustram a
Figura 25 foram obtidos a partir das operações vetoriais implícitas na Figura 24. Nesse ponto da leitura, é importante parar e analisar cuidadosamente as Figuras 24  e 25  antes de prosseguir.

Figura 25 – Como a aceleração do móvel é vertical para baixo, a sua velocidade, bem como a sua trajetória, vão gradativamente encurvando naquela direção, com o passar do tempo.

 

Note que a velocidade vetorial do móvel e, conseqüentemente, a trajetória seguida por ele, tende a encurvar na direção e sentido da aceleração que atua sobre o móvel. Essa aceleração, por sua vez, é causada pela resultante das forças que atuam sobre ele, apontando na mesma direção e sentido dessa resultante FR, de acordo com a 2a lei de Newton.

 

 

3.2    AS COMPONENTES TANGENCIAL E CENTRÍPETA DA ACELERAÇÃO

A fim de estudar a Dinâmica do movimento dos corpos, em geral, deve-se adotar um par de eixos cartesianos, centrado sobre o móvel, orientado  da seguinte maneira:

1o eixo - é o chamado eixo tangencial, por ser tangente à trajetória. Aponta na direção da velocidade do móvel. Sobre esse eixo estarão as forças tangenciais responsáveis  pelo aparecimento (ou não) de uma aceleração tangencial, que atua diretamente sobre o módulo da velocidade do móvel.

2o eixo - é chamado de eixo normal, radial ou centrípeto. É perpendicular à trajetória e, portanto, perpendicular à velocidade do móvel. Sobre esse eixo estarão as forças centrípetas responsáveis  pelo aparecimento (ou não) de uma aceleração centrípeta, que atua diretamente sobre a direção para onde aponta a velocidade do móvel.

Figura 26

Figura 27

A Figura 26 mostra um móvel descrevendo uma trajetória curvilínea, sujeito a uma aceleração representada pelo vetor .  Traçando o sistema cartesiano (Figura 27) formado pelos eixos tangencial e radial (ou centrípeto), estamos aptos a melhor investigar o papel de cada uma das duas componentes da aceleração do móvel (Figura 28):

Figura 28

Figura 29

 

Curiosamente, as componentes da aceleração do móvel atuam de forma independente, tendo, cada qual, uma função bem definida.

·   A componente tangencial (aTg)

O módulo da componente tangencial é, comumente, chamado de aceleração escalar do móvel, e Figura em expressões consagradas da cinemática escalar tais como:

|V|   =  |Vo|    ±    aTg.T .

A componente tangencial da aceleração  fornece a taxa de variação (ritmo de variação) do módulo da velocidade, que tanto pode estar aumentando como pode estar diminuindo, conforme essa componente tangencial esteja respectivamente a favor ou contra a velocidade do móvel.        

É comum se dizer que, se a aceleração de um móvel  vale 4 m/s2,  sua rapidez está aumentando de 4 m/s  em  4 m/s, a cada segundo de movimento. Ao se dizer isso, está se fazendo referência à sua aceleração escalar (ou tangencial) do móvel. Afinal, é esta componente que se relaciona ao ritmo de variação do módulo da velocidade do móvel.

Quando um móvel se desloca com aTg nula, dizemos que ele executa um movimento uniforme. Nesse caso, a sua velocidade é constante em módulo e sentido, podendo ser variável apenas em direção, no caso dos movimentos curvilíneos uniformes.

·   A componente centrípeta (actp)

A componente centrípeta da aceleração é sempre perpendicular à velocidade do móvel (Figura 29), apontando para o lado para onde a sua trajetória   se curvará.

Uma “grande aceleração centrípeta” significa que o móvel fará uma curva bastante “fechada” (pequeno raio de curvatura), ao passo que uma “pequena aceleração centrípeta”  significa que a curvatura da trajetória será “suave” (grande raio de curvatura), como sugere a Figura 30.

Figura 30  -  o valor da aceleração centrípeta está relacionado à curvatura da

                                           trajetória seguida pelo móvel.

O módulo da aceleração centrípeta  actp  relaciona-se com a velocidade V do móvel e com o raio de curvatura R  de sua trajetória, num dado instante, pela expressão:

A aceleração centrípeta actp mede a rapidez com que a direção da velocidade  do  móvel está variando.  Em todo movimento retilíneo, a direção da velocidade permanece constante  e  alinhada à trajetória, como vimos anteriormente, portanto, todo movimento retilíneo é caracterizado por uma  actp  nula.

Da Figura 29, ainda podemos escrever as seguintes expressões:

aTg  = a . cosa ,            actp  = a . sena ,            (a)2   =  (aTg)2   +   (actp)2

onde    é   o módulo da aceleração vetorial ou resultante, conforme a Figura 28. Falamos sobre as componentes das acelerações, explicando a função que cada uma delas desempenha na dinâmica do movimento. Mas como essas acelerações se relacionam com as  forças atuantes ?

 

3.3    FORÇAS EM TRAJETÓRIA CURVILÍNEA

As Figuras 26 a 29  mostram diagramas cinemáticos do movimento de um móvel sobre uma trajetória curvilínea. A seguir, ilustraremos um diagrama de forças compatível com aquele diagrama cinemático.

Para isso, considere que, sobre aquele mesmo móvel, atuem as forças ,  e  mostradas na Figura 31. Sabendo que todo conjunto de forças admite  uma única resultante , trataremos de determiná-la para, em seguida, encontrarmos as suas componentes tangencial FTg  e  centrípeta  Fctp :

Figura 31

                           Figura 32

 

                   

Amiga Claudete, as forças F1, F2 e F3 são forças genéricas quaisquer que estão atuando sobre  o móvel, podendo ser tração, peso, normal, força de atrito, força elástica  etc., mas não existe na natureza uma força denominada “a força centrípeta”. Em outras palavras, a tal força centrípeta não é uma das três forças que estão atuando sobre o móvel. Na verdade, o termo mais adequado é “resultante centrípeta”  em vez de  “força centrípeta”.

Figura 33

Figura 34

 

A seguir, esclareceremos qual a “resultante centrípeta” a que Claudete vulgarmente chamou de “força centrípeta”. Na Figura 32, tratamos de decompor todas as forças que não estivessem sobre os eixos tangencial e normal, no caso, apenas a força F1, substituída por suas componentes F1a  e F1b,  como mostram as Figuras 32  e  33.

A resultante tangencial FTg  causa uma aceleração tangencial aTg  de acordo com a 2a lei de Newton  FTg = m. aTg . No diagrama cinemático ilustrado na Figura 28, a componente tangencial  aTg   aponta para a direita, sugerindo que foi causada por uma resultante tangencial  FTg  que também aponta para a direita, donde se conclui que F1a > F2  na Figura 33. Assim,  a  2a lei de Newton na direção tangencial permite escrever:

FTg  =  m. aTg 

FTg  =  F1a – F2   =  m. aTg   ,  com      F1a  =  F1. senb

FTg  =  F1. senb  –  F2   =  m. aTg.

A resultante centrípeta Fctp  é  a  resultante das forças que atuam sobre o eixo centrípeto (Figuras 33 e 34) e sempre aponta para dentro da curva, assim como a aceleração  actp  causada por ela, donde se conclui que  F1b > F3  A  2a lei de Newton na direção centrípeta permite escrever:

Fctp  =  m. actp 

Fctp  =  F1b – F3   =  m. actp   ,  com   F1b  =  F1. cosb

Fctp  =  F1. cosb  –  F3   =  m. actp ,  com  actp = V2/R.

Assim, percebemos que, aquilo o que a Claudete estava chamando de
“a força centrípeta”  é, meramente,  a resultante das forças que atuam sobre o móvel ao longo da direção centrípeta (Figuras 33 e 34).

 

Exatamente, Claudete ! Agora percebo que você entendeu !  Da Figura 34, ainda podemos escrever as seguintes relações:

 

FTg  = FR . cosa ,          Fctp  = FR . sena ,          (FR)2   =  (FTg)2   +   (Fctp)2

Note que, como as acelerações que aparecem no diagrama cinemático da Figura 28  foram respectivamente causadas pelas forças que aparecem na Figura 34, o ângulo  a  indicado  em ambos os diagramas é exatamente o mesmo, visto que a aceleração resultante  aponta exatamente na mesma direção e sentido da força resultante  que a causou.

3.4    ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM PÊNDULO SIMPLES

Um pêndulo simples é uma massa  suspensa a um ponto de sustentação através de um cordão ideal de massa desprezível. O pêndulo é deslocado da posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso, dando início a um movimento oscilatório. Durante esse movimento, apenas duas forças atuam sobre a massa do pêndulo a cada instante:  a tração  e  o peso.

Figura 35 –  o pêndulo simples

 

Figura 36 – o par de eixos tangencial e radial  se desloca junto com pêndulo durante as oscilações.

 

Mais uma vez, a velocidade da bola é tangente à trajetória em cada ponto (Figura 35). A fim de estudar a Dinâmica do movimento, precisamos traçar o par de eixos tangencial (paralelo à velocidade)  e radial (perpendicular à velocidade) em cada ponto do movimento, como indica a Figura 36.

Figura 37

Figura 38

Em seguida,  tendo feito a escolha correta do par de eixos adequado em cada posição da bola, resta claro quais forças precisam ser decompostas em suas componentes para a análise do movimento: aquelas que não estiverem sobre nenhum dos eixos, no caso, a força peso P (Figura 36).

As Figuras 37  e  38  mostram a decomposição conveniente do peso da bola; lembrando que as forças que apontam para dentro da curva sempre superam as forças que apontam para fora (FIN > FOUT)   na direção radial ou centrípeta,  a 2a lei de Newton permite escrever:

Fctp  =  FIN – FOUT   =  m. actp   

Fctp  =  T – PY   =  m. actp   ,  com    PY  = P.cosa

               (eq 7).

                         (equação geral do pêndulo simples)


(ESSA TEORIA AINDA CONTINUA, NO LIVRO, ATÉ A PÁGINA 67)

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Segue abaixo uma amostra de algumas questões que constam no Capítulo 3

(Dinâmica Curvilínea no Referencial Inercial)

O autor procura explorar questões bem no estilo IME ITA, diferentes das questões clássicas convencionais.


(O símbolo Ð indica que "questão resolvida no final do livro")

(O símbolo Ïindica "questão para treinamento do estudante, baseada em questões que a antecedem. Contém a resposta no final do livro")



Questão 108 –
Р  (Renato Brito)

Um pêndulo simples oscila entre duas posições extremas  A e B, como mostra a Figura abaixo, num local onde a intensidade do campo gravitacional  vale   g.  A  aceleração  da  esfera,  ao  atingir  a  posição  B, 

vale:

a) g

b) g.sena

c) g.cosa

d) g.tga

e) nula.

 

 

Questão 109 – Р   (Renato Brito)

A Figura mostra uma esfera de massa  m  suspensa  em equilíbrio por meio de dois  fios ideais 1 e  2,  formando um triângulo equilátero. Nessas circunstâncias, a tração no fio 2  vale TA. Repentinamente, o fio 1  é cortado  e  a  tração  no  fio  2,  logo após o corte,  passa  a  valer TB. O quociente  TA / TB    vale:

a) 1              

b) 3/4       

c)  4.        

d) 2     

e)  2/3