Demonstrativo do Capítulo 3

DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO NO REFERENCIAL INERCIAL

A Figura a seguir mostra a velocidade de um móvel durante o seu movimento ao longo de uma trajetória sinuosa. Percebemos que, a cada instante, a velocidade do móvel é tangente à trajetória, apontando na direção que ele seguiria a partir daquele instante, caso prosseguisse em linha reta.

Figura 22 – A velocidade do móvel molda-se à trajetória, permanecendo tangente a ela em cada ponto. Assim, a velocidade varia em direção ao trecho curvilíneo, mantendo uma direção constante no trecho retilíneo.

Assim, em todo o trecho curvilíneo, a velocidade do móvel vai se moldando à trajetória, mudando a direção de acordo com o formato da curva. No trecho retilíneo, entretanto, essa velocidade não muda mais a direção, permanecendo alinhada à trajetória.

Sendo, a velocidade uma grandeza vetorial, qualquer mudança em sua direção, sentido ou valor é suficiente para dizermos que esta grandeza está variando. Assim, todo movimento curvilíneo é caracterizado por uma velocidade V  variável, no mínimo em direção, implicando que uma aceleração deve estar presente. Em outras palavras, todo movimento curvilíneo é acelerado, visto que uma aceleração está presente para variar a velocidade do móvel.

O vetor aceleração indica, a cada instante, em qual direção e com que rapidez a velocidade do móvel será alvo de variações. Assim, se no presente momento a velocidade do móvel é representada pelo vetor , qual será a velocidade dele  após um intervalo de tempo Dt ?  A velocidade será representada pelo vetor , tal que:

Após um novo intervalo Dt, a velocidade do móvel  passará de para , tal que:

E assim por diante, após um novo intervalo Dt, a velocidade do móvel  passará de  para , tal que:

As Figuras acima mostram graficamente essas operações matemáticas. Assim, a cada intervalo Dt, a velocidade  do móvel recebe um acréscimo na mesma direção e sentido do vetor aceleração . 

Figura 23 – A trajetória de um móvel será  retilínea sempre que a sua aceleração apontar na mesma direção da sua velocidade.

Assim, se o vetor aceleração  do móvel estiver sempre na mesma direção e sentido do vetor velocidade , as sucessivas velocidades , , , .. atingidas pelo móvel serão vetores que apontam numa direção constante, significando que a trajetória seguida pelo móvel será retilínea (Figura 23). Não haverá mudanças na direção do seu movimento, visto que não há mudanças na direção da velocidade do móvel à medida que o tempo passa.

Mas como será o comportamento da velocidadedo móvel, caso a sua aceleração não aponte na mesma direção da sua velocidade ?

Quando um projétil é lançado horizontalmente com velocidade inicial , ele recebe a ação de uma aceleração vertical constante = chamada aceleração da gravidade. Assim, a sua velocidade será objeto de sucessivas variações  na direção vertical (Figura 24), de forma que a trajetória seguida pelo móvel vai gradativamente encurvando para baixo, na direção do vetor , como mostra a Figura 25.

Figura 24 – a velocidade vetorial do móvel é alvo de sucessivos acréscimos verticais para baixo, sempre na mesma direção e sentido da aceleração que atua sobre ele.

Do exposto até aqui, concluímos que o formato da trajetória seguida por um móvel está intimamente relacionado ao fato de os vetores velocidade  e aceleração  apontarem numa mesma direção  ou  não. 

A trajetória será retilínea sempre que os vetores  e  apontarem numa mesma direção, independente dos seus sentidos; será curvilínea quando  e  apontarem em direções diferentes.

O leitor precisa atentar para o fato de que os vetores que ilustram a
Figura 25 foram obtidos a partir das operações vetoriais implícitas na Figura 24. Nesse ponto da leitura, é importante parar e analisar cuidadosamente as Figuras 24  e 25  antes de prosseguir.

Figura 25 – Como a aceleração do móvel é vertical para baixo, a sua velocidade, bem como a sua trajetória, vão gradativamente encurvando naquela direção, com o passar do tempo.

Note que a velocidade vetorial do móvel e, conseqüentemente, a trajetória seguida por ele, tende a encurvar na direção e sentido da aceleração que atua sobre o móvel. Essa aceleração, por sua vez, é causada pela resultante das forças que atuam sobre ele, apontando na mesma direção e sentido dessa resultante F_R, de acordo com a 2^a lei de Newton.

A fim de estudar a Dinâmica do movimento dos corpos, em geral, deve-se adotar um par de eixos cartesianos, centrado sobre o móvel, orientado  da seguinte maneira:

1^o eixo - é o chamado eixo tangencial, por ser tangente à trajetória. Aponta na direção da velocidade do móvel. Sobre esse eixo estarão as forças tangenciais responsáveis  pelo aparecimento (ou não) de uma aceleração tangencial, que atua diretamente sobre o módulo da velocidade do móvel.

2^o eixo - é chamado de eixo normal, radial ou centrípeto. É perpendicular à trajetória e, portanto, perpendicular à velocidade do móvel. Sobre esse eixo estarão as forças centrípetas responsáveis  pelo aparecimento (ou não) de uma aceleração centrípeta, que atua diretamente sobre a direção para onde aponta a velocidade do móvel.

A Figura 26 mostra um móvel descrevendo uma trajetória curvilínea, sujeito a uma aceleração representada pelo vetor .  Traçando o sistema cartesiano (Figura 27) formado pelos eixos tangencial e radial (ou centrípeto), estamos aptos a melhor investigar o papel de cada uma das duas componentes da aceleração do móvel (Figura 28):

Curiosamente, as componentes da aceleração do móvel atuam de forma independente, tendo, cada qual, uma função bem definida.

·   A componente tangencial (a_Tg)

O módulo da componente tangencial é, comumente, chamado de aceleração escalar do móvel, e Figura em expressões consagradas da cinemática escalar tais como:

|V|   =  |V_o|    ±    a_Tg.T .

A componente tangencial da aceleração  fornece a taxa de variação (ritmo de variação) do módulo da velocidade, que tanto pode estar aumentando como pode estar diminuindo, conforme essa componente tangencial esteja respectivamente a favor ou contra a velocidade do móvel.        

É comum se dizer que, se a aceleração de um móvel  vale 4 m/s²,  sua rapidez está aumentando de 4 m/s  em  4 m/s, a cada segundo de movimento. Ao se dizer isso, está se fazendo referência à sua aceleração escalar (ou tangencial) do móvel. Afinal, é esta componente que se relaciona ao ritmo de variação do módulo da velocidade do móvel.

Quando um móvel se desloca com a_Tg nula, dizemos que ele executa um movimento uniforme. Nesse caso, a sua velocidade é constante em módulo e sentido, podendo ser variável apenas em direção, no caso dos movimentos curvilíneos uniformes.

·   A componente centrípeta (a_ctp)

A componente centrípeta da aceleração é sempre perpendicular à velocidade do móvel (Figura 29), apontando para o lado para onde a sua trajetória   se curvará.

Uma “grande aceleração centrípeta” significa que o móvel fará uma curva bastante “fechada” (pequeno raio de curvatura), ao passo que uma “pequena aceleração centrípeta”  significa que a curvatura da trajetória será “suave” (grande raio de curvatura), como sugere a Figura 30.

Figura 30  -  o valor da aceleração centrípeta está relacionado à curvatura da

                                           trajetória seguida pelo móvel.

O módulo da aceleração centrípeta  a_ctp  relaciona-se com a velocidade V do móvel e com o raio de curvatura R  de sua trajetória, num dado instante, pela expressão:

A aceleração centrípeta a_ctp mede a rapidez com que a direção da velocidade  do  móvel está variando.  Em todo movimento retilíneo, a direção da velocidade permanece constante  e  alinhada à trajetória, como vimos anteriormente, portanto, todo movimento retilíneo é caracterizado por uma  a_ctp  nula.

Da Figura 29, ainda podemos escrever as seguintes expressões:

onde   a   é   o módulo da aceleração vetorial ou resultante, conforme a Figura 28. Falamos sobre as componentes das acelerações, explicando a função que cada uma delas desempenha na dinâmica do movimento. Mas como essas acelerações se relacionam com as  forças atuantes ?

As Figuras 26 a 29  mostram diagramas cinemáticos do movimento de um móvel sobre uma trajetória curvilínea. A seguir, ilustraremos um diagrama de forças compatível com aquele diagrama cinemático.

Para isso, considere que, sobre aquele mesmo móvel, atuem as forças ,  e  mostradas na Figura 31. Sabendo que todo conjunto de forças admite  uma única resultante , trataremos de determiná-la para, em seguida, encontrarmos as suas componentes tangencial F_Tg  e  centrípeta  F_ctp :

Amiga Claudete, as forças F₁, F₂ e F₃ são forças genéricas quaisquer que estão atuando sobre  o móvel, podendo ser tração, peso, normal, força de atrito, força elástica  etc., mas não existe na natureza uma força denominada “a força centrípeta”. Em outras palavras, a tal força centrípeta não é uma das três forças que estão atuando sobre o móvel. Na verdade, o termo mais adequado é “resultante centrípeta”  em vez de  “força centrípeta”.

A seguir, esclareceremos qual a “resultante centrípeta” a que Claudete vulgarmente chamou de “força centrípeta”. Na Figura 32, tratamos de decompor todas as forças que não estivessem sobre os eixos tangencial e normal, no caso, apenas a força F₁, substituída por suas componentes F_1a  e F_1b,  como mostram as Figuras 32  e  33.

A resultante tangencial F_Tg  causa uma aceleração tangencial a_Tg  de acordo com a 2^a lei de Newton  F_Tg = m. a_Tg . No diagrama cinemático ilustrado na Figura 28, a componente tangencial  a_Tg   aponta para a direita, sugerindo que foi causada por uma resultante tangencial  F_Tg  que também aponta para a direita, donde se conclui que F_1a > F₂  na Figura 33. Assim,  a  2^a lei de Newton na direção tangencial permite escrever:

F_Tg  =  m. a_Tg 

F_Tg  =  F_1a – F₂   =  m. a_Tg   ,  com      F_1a  =  F₁. senb

F_Tg  =  F₁. senb  –  F₂   =  m. a_Tg.

A resultante centrípeta F_ctp  é  a  resultante das forças que atuam sobre o eixo centrípeto (Figuras 33 e 34) e sempre aponta para dentro da curva, assim como a aceleração  a_ctp  causada por ela, donde se conclui que  F_1b > F_3.    A  2^a lei de Newton na direção centrípeta permite escrever:

F_ctp  =  m. a_ctp 

F_ctp  =  F_1b – F₃   =  m. a_ctp   ,  com   F_1b  =  F₁. cosb

F_ctp  =  F₁. cosb  –  F₃   =  m. a_ctp ,  com  a_ctp = V²/R.

Assim, percebemos que, aquilo o que a Claudete estava chamando de
“a força centrípeta”  é, meramente,  a resultante das forças que atuam sobre o móvel ao longo da direção centrípeta (Figuras 33 e 34).

Exatamente, Claudete ! Agora percebo que você entendeu !  Da Figura 34, ainda podemos escrever as seguintes relações:

Note que, como as acelerações que aparecem no diagrama cinemático da Figura 28  foram respectivamente causadas pelas forças que aparecem na Figura 34, o ângulo  a  indicado  em ambos os diagramas é exatamente o mesmo, visto que a aceleração resultante  aponta exatamente na mesma direção e sentido da força resultante  que a causou.

Um pêndulo simples é uma massa  suspensa a um ponto de sustentação através de um cordão ideal de massa desprezível. O pêndulo é deslocado da posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso, dando início a um movimento oscilatório. Durante esse movimento, apenas duas forças atuam sobre a massa do pêndulo a cada instante:  a tração  e  o peso.

Mais uma vez, a velocidade da bola é tangente à trajetória em cada ponto (Figura 35). A fim de estudar a Dinâmica do movimento, precisamos traçar o par de eixos tangencial (paralelo à velocidade)  e radial (perpendicular à velocidade) em cada ponto do movimento, como indica a Figura 36.

Em seguida,  tendo feito a escolha correta do par de eixos adequado em cada posição da bola, resta claro quais forças precisam ser decompostas em suas componentes para a análise do movimento: aquelas que não estiverem sobre nenhum dos eixos, no caso, a força peso P (Figura 36).

As Figuras 37  e  38  mostram a decomposição conveniente do peso da bola; lembrando que as forças que apontam para dentro da curva sempre superam as forças que apontam para fora (F_IN > F_OUT)   na direção radial ou centrípeta,  a 2^a lei de Newton permite escrever:

F_ctp  =  F_IN – F_OUT   =  m. a_ctp   

F_ctp  =  T – P_Y   =  m. a_ctp   ,  com    P_Y  = P.cosa

               (eq 7).

                         (equação geral do pêndulo simples)

(ESSA TEORIA AINDA CONTINUA, NO LIVRO, ATÉ A PÁGINA 67)

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Segue abaixo uma amostra de algumas questões que constam no Capítulo 3

(Dinâmica Curvilínea no Referencial Inercial)

O autor procura explorar questões bem no estilo IME ITA, diferentes das questões clássicas convencionais.

(O símbolo Ð indica que "questão resolvida no final do livro")

(O símbolo Ïindica "questão para treinamento do estudante, baseada em questões que a antecedem. Contém a resposta no final do livro")

Um pêndulo simples oscila entre duas posições extremas  A e B, como mostra a Figura abaixo, num local onde a intensidade do campo gravitacional  vale   g.  A  aceleração  da  esfera,  ao  atingir  a  posição  B, 

A Figura mostra uma esfera de massa  m  suspensa  em equilíbrio por meio de dois  fios ideais 1 e  2,  formando um triângulo equilátero. Nessas circunstâncias, a tração no fio 2  vale T_A. Repentinamente, o fio 1  é cortado  e  a  tração  no  fio  2,  logo após o corte,  passa  a  valer T_B. O quociente  T_A / T_B    vale: