Demonstrativo do Capítulo 4

DINÂMICA RETILÍNEA NO REFERENCIAL NÃO INERCIAL

A primeira lei de Newton afirma que “se um corpo estiver  livre da ação de forças,  ou  ele está parado  e  assim permanecerá indefinidamente,  ou ele está em movimento retilíneo e uniforme e assim permanecerá enquanto  perdurar a  ausência de forças”.

A segunda lei de Newton é expressa matematicamente pela equação fundamental da Mecânica Clássica,

                         (eq 1)

onde   é a soma (vetorial) de todas as forças que agem no corpo, m é a massa do corpo e  é a sua aceleração.

Uma análise superficial dessas leis de Newton mostra que a  primeira lei de Newton é um caso particular da segunda lei, visto que, se , então  teremos . Em outras palavras, se  a força resultante que age no corpo for nula, a sua velocidade será (vetorialmente) constante, conforme estabelecido pela primeira lei.

Assim, sendo  a  primeira lei de Newton  um caso particular da segunda lei, a primeira lei não seria redundante ?  Por qual motivo, então, Newton teria incluído essa versão refinada da lei da inércia de Galileu como uma das suas  três leis fundamentais da Mecânica ?

A resposta está na sutileza das entrelinhas - a questão do referencial. A importância da  primeira lei de Newton reside no fato de ela  definir um sistema de referência  fundamental para toda a Mecânica, o referencial inercial. 

Conforme discutimos no capítulo 2, um sistema de referência é dito inercial  quando  nele se verifica a lei da inércia. Um ônibus que esteja desacelerando, por exemplo, não é um referencial inercial:  os passageiros sentados no interior desse ônibus observam que uma caixa, inicialmente em repouso no piso, adquire velocidade por si só e acelera para frente, durante a frenagem do  veículo, sem que nenhuma força horizontal  tenha agido na caixa para produzir  tal aceleração. Nesse exemplo, percebe-se:

·   uma clara violação da  primeira lei de Newton - lei da inércia: a caixa estava em repouso e, de repente, adquiriu movimento, naquele referencial, sem que nenhuma força horizontal tivesse  atuado para alterar o seu  estado de repouso inicial ; 

·   uma  irrefutável violação da segunda lei de Newton: no referencial do ônibus, a caixa possui aceleração horizontal, sem que haja forças horizontais para produzir  tal  aceleração.

Assim, vemos que a primeira lei de Newton tem um papel independente da segunda lei  e importante na definição dos sistemas de referência inerciais. Sem esta definição, não se pode escolher um sistema de referência para aplicar a segunda lei de Newton.

Quando a segunda lei de Newton afirma que a  a aceleração causada pela força resultante é dada por

                                                                        (eq 2)

essa  é a aceleração que o corpo possui em todo e qualquer  referencial inercial. 

Propriedade 5:  se dois  referenciais  B e C  são inerciais, ou  B  está parado em relação a C, ou B está em MRU em relação a C.  A recíproca não é necessariamente verdadeira, ou seja, o simples fato de dois referenciais estarem parados entre si não os torna referenciais inerciais.

A propriedade 5 afirma que, se houver velocidade relativa  entre dois referenciais inerciais A e B quaisquer, ela será necessariamente constante. A propriedade 5 pode ser reescrita conforme a seguir:

Propriedade 6: se dois referenciais  B e C são inerciais, a aceleração relativa, entre eles, é necessariamente nula . A recíproca não é  necessariamente  verdadeira, ou seja,  se dois referenciais  tiverem aceleração relativa entre si nula, eles não são necessariamente referenciais inerciais.

A partir das propriedades 5 e 6 anteriores, o que podemos inferir sobre a percepção que dois observadores inerciais  B e C  têm  a respeito do movimento de um terceiro móvel  A qualquer ?

·   Será que  dois  referenciais  inerciais  B e C   genéricos  concordam com o valor da velocidade de um terceiro móvel A que se mova em relação a eles, ou seja ,  será que   ?

Pela expressão geral da velocidade relativa (vetorial) entre três móveis A, B e C, mostrada abaixo

                                                             (eq 3)

vê-se que, em geral, se dois  referenciais  inerciais  B e C  apresentarem  velocidade relativa  entre si (isto é, se B mover-se  em relação a C, então  discordarão da velocidade  de um terceiro móvel A  (isto é, se , teremos ). 

Os referenciais inerciais só concordarão com a velocidade do terceiro móvel () no caso em que esses referenciais estiverem parados entre si ().

·   E acerca da aceleração ? Será que  dois  referenciais  inerciais  B e C   genéricos  sempre concordam com o valor da aceleração de um terceiro móvel A,  que se mova em relação a eles, ou seja, será que  ?

Ora, da propriedade 6  enunciada anteriormente, sabemos que, se B e C são referenciais inerciais, a aceleração relativa entre eles é necessariamente nula . Assim, pela expressão geral da  aceleração relativa (vetorial)  entre três  móveis A, B e C, mostrada abaixo

                                              ,                          (eq 4)

com    , pode-se enunciar  a seguinte propriedade:

Propriedade 7: dois  referenciais  inerciais  B e C  quaisquer  sempre concordam com a aceleração de um terceiro móvel A, isto é,  . Em outras palavras,  a  aceleração de  um móvel é sempre a mesma em qualquer referencial inercial, podendo ser calculada pela  segunda lei de Newton

É por esse motivo que se pode afirmar que a aceleração calculada pela  segunda lei de Newton  é  a  aceleração do  móvel  simultaneamente  em  todo e qualquer  referencial inercial.

Em linhas gerais, vimos que, embora a  velocidade de um móvel  possa assumir valores diferentes, quando medida por diferentes referenciais inerciais, a sua aceleração será sempre a mesma, ainda que medida por distintos referenciais inerciais. Isto decorre do fato de os referenciais inerciais  nunca terem aceleração relativa entre si  (propriedade 6).

Com efeito, se diferentes referenciais inerciais sempre concordam tanto com a  massa m  (a massa é invariante)  quanto com a aceleração  (propriedade 7) de um móvel, esses fatos nos levam a concluir que :

Propriedade 8: todos os referenciais inerciais  concordam  a respeito de todas as forças (forças de interação) que agem sobre  um móvel, bem como  acerca da força resultante agindo sobre ele, dada pela segunda lei de Newton

Usando a linguagem matemática, dizemos que as leis de Newton são invariantes em mudanças de um referencial inercial  para outro referencial inercial. Todos os referenciais  inerciais aplicam as leis de Newton da mesma forma, ou, ainda,  todos os referenciais inerciais são equivalentes.

É importante ressaltar que, até agora, nos ocupamos em descrever várias propriedades dos referenciais inerciais sem, no entanto, nos preocuparmos em fazer uma lista deles. Sabemos que qualquer referencial que esteja parado ou em MRU,  em relação a um referencial inercial,  também será um referencial inercial. A questão que surge é: qual é o referencial inercial-padrão ? 

À rigor, essa busca do referencial inercial padrão é filosófica, profunda e não ampliará em nada a nossa compreensão do assunto. Objetivamente falando, a maneira prática de verificar se um referencial é ou não é inercial é testar experimentalmente a validade das leis de Newton naquele referencial.

Se, à primeira vista, nenhuma delas for violada, estaremos, em primeira aproximação, diante de um referencial inercial. Caso contrário, o referencial  é  dito  não inercial.  Lembramos que, neste livro, usaremos a aproximação  de  que  a  Terra  é  um   referencial inercial.

Dado que somos capazes de identificar, em primeira aproximação,  um referencial inercial, facilmente reconheceremos um referencial não inercial. Afinal, será classificado como não inercial todo  e qualquer referencial que estiver  acelerado em relação a um referencial inercial.

Propriedade 9: referencial não inercial  é todo aquele que apresentar  aceleração em relação  um  referencial inercial. Por esse motivo, os referenciais não inerciais são também conhecidos como os referenciais acelerados.

Conforme vimos anteriormente,  a aceleração calculada pela  segunda lei de Newton  é  a aceleração do móvel  em relação a qualquer referencial inercial; qualquer um mesmo, visto que jamais haverá  aceleração relativa entre referenciais inerciais  ( propriedade 6 ).

Portanto, a aceleração  calculada pela  segunda lei de Newton  (aceleração do móvel no referencial inercial)  jamais concordará  com  a aceleração  do móvel  num referencial não inercial, visto que sempre haverá  aceleração relativa entre  essas  duas classes de referenciais.  

Esse    raciocínio confirma a tese de que:

Propriedade 10:  as leis de Newton, da maneira como foram formuladas, só são válidas  nos referenciais inerciais.

Exemplo resolvido 2 : a Figura mostra Beto e o Mago se movendo com  acelerações  horizontais respectivamente  a_BA = 7,5 m/s²  e   a_MA = 2,5 m/s²  em  relação à árvore (referencial inercial).  O pêndulo suspenso por Beto permanece em repouso, no referencial do garoto,  formando um ângulo a = 37^o  com  a  vertical. Se a gravidade local vale g = 10 m/s² , o prof. Renato Brito pede que você determine (sen 37^o = 0,6   cos 37^o = 0,8):

a)  a aceleração do pêndulo em relação ao Beto  (aPB)  ; b)  a aceleração do pêndulo em relação à árvore (aPA) ; c)  a aceleração do pêndulo em relação ao Mago (aPM); e d)  a aceleração do pêndulo em relação ao Mago (aPM), caso este estivesse se movendo com velocidade constante VMA = 3 m/s  em relação à árvore.

Solução:

No referencial do Beto, o pêndulo se encontra em repouso permanente
(v’ = 0, a’ = 0), isto é, em equilíbrio estático.  Afinal, ele nem se aproxima nem se afasta do Beto, enquanto o garoto move-se em relação à Terra.

Mas o referencial do Beto é inercial  ou  não inercial ?

Comecemos analisando a árvore. Ora, com certeza, ela  é um referencial inercial, visto que não possui aceleração em relação à Terra. Afinal, ela está fixa à Terra, que é  admitida como referencial inercial  (propriedade 3).

Como o Mago e o Beto, entretanto, possuem aceleração em relação à Terra (ou à árvore), pela propriedade 9, eles certamente são referenciais não inerciais.

Comentário: note, o que faz com que o Mago e o Beto sejam classificados como referenciais não inerciais não é o fato de eles terem velocidade em relação à  árvore (ou à Terra) mas, sim, o fato de cada um deles ter  aceleração  em relação  a  ela.

a) A aceleração do pêndulo em relação ao Beto é nula (a_PB = 0), visto que a velocidade do pêndulo em relação ao Beto é constante, permanentemente nula.

Tentar aplicar  a segunda lei de Newton    no referencial do Beto, a fim de determinar a aceleração  a_PB  do pêndulo em relação ao Beto, seria inútil, visto que, conforme a propriedade 7, a segunda lei de Newton  aplicada ao pêndulo  determinará a sua aceleração em relação aos referenciais inerciais, nesse caso, em relação à Terra ou à árvore.

b) A árvore é um referencial inercial, por isso, para determinar a aceleração
a = a_PA  do pêndulo em relação a ela, basta aplicarmos diretamente  a segunda lei de Newton:

na vertical:       T.cosa = m.g          (eq 5)

na horizontal:   F_R = m.a

                        T.sena = m.a       (eq 6)

Dividindo eq6  por eq5, membro a membro, vem:

Note que, conforme era esperado,  a aceleração do pêndulo em relação à árvore  coincidiu  com  a aceleração  do  Beto em relação à árvore (dada no enunciado)  a_PA = a_BA = 7,5 m/s², o que era esperado, visto que o pêndulo não possui aceleração em relação  ao Beto.

c) Pela equação do movimento relativo, podemos dizer que  a aceleração do pêndulo em relação à árvore  é  igual  à  aceleração do pêndulo em relação ao Mago   mais  a aceleração do  Mago em relação à árvore .  Matematicamente, vem:

  =     +   

Substuindo os vetores com os seus respectivos módulos ao lado, temos:

(® 7,5)    =       +    (® 2,5)

  =   (® 7,5)     +     (¬2,5)

 =  ® 5,0 m/s² 

d) Se o Mago estivesse se movendo com velocidade constante V_MA = 5 m/s  em relação à árvore (referencial inercial), ele teria aceleração nula  =  em relação à árvore, o que o tornaria  um  referencial inercial (propriedade 2, capítulo 2).  Dessa forma, como a aceleração determinada no ítem b  é a aceleração do pêndulo em qualquer referencial inercial,  então, também será a aceleração dele em relação ao Mago movendo-se  em MRU, ou seja,  = ® 7,5 m/s².

Se você preferir o formalismo matemático, podemos escrever:

  =     +   

Substuindo os vetores com os seus respectivos módulos ao lado, temos:

(® 7,5)    =       +    

      =  ® 7,5 m/s² 

O Princípio da Equivalência foi formulado por Albert Einstein em 1909, constituindo a base da  sua Teoria da Relatividade Geral.  Ao contrário do que possa parecer, a idéia por trás desse princípio físico é bastante simples e intuitiva, com largo emprego no entendimento e resolução de problemas de Mecânica.

Para entendermos de forma clara e objetiva o Princípio da Equivalência, consideremos o nosso amigo Raulzito no interior de um elevador em repouso na Figura 47.

Devido à ação do campo gravitacional terrestre, todos os corpos localizados no interior do elevador são puxados para baixo, em direção ao centro da Terra. É por isso que um pêndulo preso ao teto oscila (Figura 47), quando abandonado do repouso com o fio inclinado; ou que uma bola de tênis de massa  m  cai em direção ao piso do elevador, com aceleração

quando abandonada a meia  altura.

Até aqui, nada demais, correto ?  Imagine, entretanto, que o elevador do Raul seja levado ao espaço sideral, longe de qualquer estrela ou planeta, num local onde não há nenhuma grande massa causando campo gravitacional:

Se não há campo gravitacional (g = 0), a esfera do pêndulo (Figura 49) não sofrerá atração gravitacional  e, assim, permanecerá em repouso, presa ao teto do elevador com o fio frouxo. A bola de tênis, abandonada a meia altura, agora não cairá em direção ao piso do elevador mas, sim, ficará levitando em repouso onde tiver sido abandonada.

Fisiologicamente, a sensação da pessoa, no interior do elevador, é de ausência de gravidade. É a mesma terrível sensação que uma pessoa tem quando está em queda livre em direção a uma piscina, despencando sem nenhum apoio sob seus pés.

Voltando ao aspecto físico, a pergunta chave é:  haveria alguma forma de se produzir uma espécie de gravidade artificial  no interior do elevador, de forma a fazer com que os objetos voltem a ser acelerados em direção ao piso, como ocorria na Figura 47, devolvendo ao Raul a sua sensação de peso  ?  A resposta é afirmativa.  Para isso, devemos instalar propulsores embaixo do elevador, de forma a acelerá-lo para cima, como mostrado na Figura 50.

Figura  50

Quando os propulsores fornecerem ao elevador uma aceleração a  para cima, o que ocorrerá no interior do elevador ? Ora, no referencial do elevador, a bola de tênis cairá com essa mesma aceleração a em direção ao piso. Todos os demais objetos tenderão a acelerar para baixo com aceleração a,  da mesma forma que o fazem  quando o elevador está em repouso na superfície de um planeta onde a gravidade  vale  a.  Essa equivalência é  mostrada na Figura 50.

A verdade é que essa aceleração a ­ que o elevador possui, no referencial inercial, será sentida no referencial do elevador (referencial não inercial)  como uma legítima gravidade de intensidade a ¯,  na mesma direção e sentido oposto ao da aceleração  desse referencial não inercial.

Essa idéia razoavelmente intuitiva  é o que chamamos de Princípio da Equivalência de Einstein. Qualquer experimento físico, quer de Mecânica, ou de Eletromagnetismo, ou de Termodinâmica, levado a cabo no interior de  cada um dos elevadores da Figura 50, sempre levará aos mesmos resultados experimen-tais, confirmando que esses sistemas físicos são absolutamente equivalentes.

Na Figura 51, vemos um elevador com aceleração a ­ apontando para cima num local onde a gravidade vale g. 

Figura 51

O Princípio da Equivalência estabelece uma equivalência entre um referencial inercial e um referencial não inercial: um elevador com aceleração a­ apontando para cima num local onde a gravidade vale g  equivale, do ponto de vista de quem esteja no seu interior,  a  um elevador com  aceleração nula  num planeta onde a  gravidade  vale  “g + a”.

É por esse motivo que, quando você está dentro de um elevador nessas circunstâncias, no seu dia-a-dia, tem a sensação de que o seu peso está um pouco maior do que o de costume.

Apesar de denominarmos  “g’ = g + a”  a  gravidade aparente no interior do elevador, o seu efeito é real  e claramente perceptível por qualquer pessoa em seu interior.

Considere que haja uma lâmpada fixa ao teto desse elevador e, portanto, em repouso (v = 0) nesse referencial. Se, durante o movimento desse elevador, ela se desprender, sua aceleração de queda-livre, naquele referencial, será visivelmente maior que a costumeira  aceleração  g. Isso evidencia que, de fato, a gravidade que a puxa para baixo, no referencial do elevador, vale  g’ = g + a . Assim, se a altura do teto do elevador em relação ao seu piso vale H, o seu tempo de queda T  é facilmente determinado assim:

H = =      Þ    T  =        (eq-7)

Outro exemplo interessante  consiste em fixar um pêndulo simples ao teto desse elevador. Genericamente, um pêndulo simples, oscilando numa gravidade ,  apresenta um período T  dado por:

T =            (eq-8)

Fixando-se esse pêndulo ao teto  dos elevadores da Figura 51, qual seria o período do seu movimento oscilatório ?  Bom, como garante o Princípio da Equivalência, esse período é exatamente o mesmo, independente de em qual dos elevadores da Figura 51 o pêndulo tenha sido fixado. Afinal, trata-se da mesma realidade física, só que interpretada de pontos de vista diferentes.

Como, entretanto, a expressão  eq-8  foi originalmente determinada  num sistema isento de aceleração, ela é prontamente adaptada ao  elevador da direita na Figura 51. Assim, o período de oscilação do pêndulo no interior de qualquer desses dois  elevadores  é dado por:

                T =                  (eq-9) 

A Figura  53  mostra um vagão com aceleração   para a direita, num local onde a  gravidade vale .  No seu interior, um pêndulo suspenso ao teto se mantém em repouso  em relação ao vagão, com uma inclinação permanente a com a vertical.

Assim, do ponto de vista de um referencial inercial fixo ao solo, a esfera do pêndulo descreve uma trajetória retilínea horizontal, compartilhando da mesma aceleração  do vagão,  graças à  componente T_X ®  da tração  que age sobre ela. Assim, esse referencial escreverá a  segunda lei de Newton na horizontal:

·   F_R = m.a  Þ   Tx = m.a    Þ    T.sena = m.a              (eq-12)

Como  a bola não apresenta aceleração vertical,  as forças devem se equilibrar mutuamente nessa direção.  O referencial inercial escreverá:

·   Equilíbrio vertical:  Ty = P   Þ    T.cosa = m.g          (eq-13)

Dessa forma, dividindo as relações eq12 e eq13, membro a membro, o referencial inercial conclui que a aceleração do vagão  (e conseqüentemente da bola do pêndulo)  se relaciona com o ângulo a de inclinação do pêndulo segundo a  expressão:

                   a  = g. tga            (eq-14)

Agora, observemos todo esse cenário a partir do referencial do próprio vagão (Figura 54), referencial este que se encontra acelerado em relação à Terra, constituindo-se, portanto, um referencial não inercial.

Figura 54 – Referencial do vagão

Para efetuarmos essa mudança de referencial, garantindo ainda a validade das leis de Newton no referencial acelerado, faremos uso do Princípio da Equivalência: a aceleração a® (que o vagão possui no referencial da Terra) será substituída (no referencial do vagão) por uma “gravidade adicional” ¬a de mesmo valor, mesma direção e sentido contrário da aceleração  a®  que será “esquecida”, visto que o vagão não apresenta tal aceleração no referencial do próprio vagão (J obviamente....).

Nesse ponto, é importante chamar a atenção do leitor para não  usar mais o termo  aceleração  para se referir  ao vetor  ¬a,  que se encontra dentro do vagão (Figura 54).   Nesse referencial, ele designa uma gravidade  a.

Assim, do ponto de vista de quem se encontra no referencial do vagão (Figura 54), haverá duas gravidades a e g igualmente legítimas, conforme estabelecido pelo Princípio da Equivalência. 
 

(.....)

Essa amostra acima  é o conteúdo teórico que consta da pág 73 a 85. 

No livro, a teoria desse capítulo continua até a página 129, sendo repleta de exemplos resolvidos comentados.
Trata-se de um Mina de Ouro para Vestibulandos IME ITA e amantes da Física.
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Resolução Esse problema foi resolvido anteriormente (questão 84, página 45) no referencial inercial. A seguir, solucionaremos essa questão no referencial da própria cunha que, por se encontrar acelerada em relação à Terra, constitui um referencial  não inercial. Observando toda a movimentação a partir do referencial da Terra ( veja agora a Figura 79),  temos  que: ·     a parede se encontra fixa nesse referencial; ·     a cunha move-se acelerada para a direita com aceleração a® ; ·     a caixa, conectada à parede, através do fio ideal, move-se  ladeira abaixo ao longo da superfície inclinada da cunha  (veja a Figura 79). Por outro lado, observando toda a movimentação a partir do referencial da própria cunha, (veja agora a Figura 80),  vemos que: ·   a cunha se encontra fixa nesse referencial; ·   a parede é que move-se acelerada para a esquerda com aceleração a¬; ·   a caixa, conectada à parede, através do fio ideal,  acompanha o movimento da parede e desce  a superfície inclinada da cunha  (Figura 80).

A partir desse ponto, nos concentraremos na Figura 80. A resolução do problema será feita  a partir da análise do movimento no referencial da cunha (não inercial).

Pelo fato de o fio não esticar (vínculo geométrico), a caixa descerá a rampa com a mesma aceleração escalar a  com que a  parede move-se para a esquerda no referencial da cunha (Figura 80).

Efetuando uma mudança do referencial inercial (Terra) para o referencial acelerado da cunha, abandonamos a aceleração ®a  que esta possui em relação à Terra (Figura 79) e  a computamos, no  seu referencial não inercial,  em forma de uma gravidade  ¬a (Figura 81) que causará forças gravitacionais fictícias  m.a ¬ e  M.a ¬  nos corpos de massa  m  e  M  do sistema, respectivamente, com base no Princípio da Equivalência de Einstein,  como mostra a Figura 81.

A  caixa descerá a rampa  com a mesma aceleração escalar  a  com que a parede move-se  para a esquerda em direção à cunha, como mostra a Figura 80.  Na direção do eixo 1 (veja Figura 81),  a  2ª lei de Newton permite escrever:

F_R = m.a      Þ    ( m.a.cosa  +  m.g.sena  -  T )  =  m.a          (eq 44)

Na direção da normal  N (eixo 2), a caixa não possui aceleração e, portanto, podemos escrever  o equilíbrio das forças:

Segue abaixo uma amostra de algumas questões que constam no Capítulo 4

(Dinâmica Retilínea  no Referencial Não-Inercial)

O autor procura explorar questões bem no estilo IME ITA, diferentes das questões clássicas convencionais.

(O símbolo Ð indica que "questão resolvida no final do livro")

(O símbolo Ïindica "questão para treinamento do estudante, baseada em questões que a antecedem. Contém a resposta no final do livro")

A figura mostra um trem que parte do repouso sobre trilhos retilíneos com  aceleração constante a em relação à Terra. Uma caixa de massa  m = 2 kg  foi  abandonada  sobre  uma rampa lisa que se encontra fixa  ao piso desse trem.  Usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência, determine:

a)  o  valor da aceleração a  para que a caixa permaneça em repouso em relação à rampa, durante o movimento do trem;

b)  a aceleração  a’ com que a caixa subirá a rampa, em relação ao trem, caso este se mova com aceleração  a = 9 m/s² em relação à Terra.

Dado:   g = 10 m/s² ,  sena = 0,6,  cos a = 0,8

Na Figura, os blocos  têm massas iguais e estão inicialmente em repouso  (equilíbrio estático) sobre uma  mesa que, por sua vez, repousa sobre uma superfície horizontal.  Sabendo que o fio e a polia são ideais,  a gravidade local vale  g  e o coeficiente de atrito entre os blocos e a mesa  vale  m,  determine  a maior aceleração com que a mesa deve ser empurrada, de forma que não ocorra escorregamento entre os blocos e a mesa, usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

Um bloco de massa m  é abandonado em repouso   sobre   um  carrinho  de  massa  M = 2m.  Se o sistema pode deslizar sem atrito, o prof. Renato Brito pede para você determinar a  aceleração a adquirida pelo carrinho em função da aceleração da gravidade local g, usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência. Dado: a = 45°

Um bloco de massa m, conectado a uma parede através de um fio ideal, é abandonado em repouso sobre um carrinho de  massa  M = 2m.  Se o sistema  pode deslizar sem atrito, o prof. Renato Brito pede para você determinar a aceleração a adquirida pelo sistema em função de g usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

Dado: sen a = 0,6   cos a = 0,8

Na Figura, após o pêndulo ser abandonado do repouso, sua  inclinação  a = 30^o com a vertical permanece constante durante o movimento da caixa. Todos os atritos são desprezíveis. Dada a massa da bola  m = 800 g  e  a gravidade local g = 10 m/s², determine a massa  M  do bloco, bem como a sua aceleração usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

Uma caixa de massa m  está apoiada sobre a face inclinada de um prisma triangular que forma um ângulo a = 45^o com a horizontal. O prisma tem massa M = 2m  e é empurrado por uma força horizontal  constante de intensidade  F = 4.m.g.  Sabendo que a gravidade local vale g e admitindo que o sistema parte do repouso,  o prof. Renato Brito pede que você determine, usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.:

a) a  aceleração  a  com a qual   o prisma se moverá em relação à Terra;

b) a aceleração a’ com que a caixa  subirá a rampa no referencial da rampa.

Observe a Figura a seguir. Os ângulos a e b são conhecidos, assim como a gravidade local  g e a massa m do bloquinho. Todos os atritos são desprezíveis. Quando a trava das rodas é retirada, o vagão passa a mover-se  aceleradamente ladeira abaixo. No seu interior, o bloquinho parte do repouso, do topo da rampa de altura H, descendo  ladeira abaixo.  Considerando que a massa do vagão seja muito maior do que a massa do bloquinho, determine o tempo gasto por este para atingir o piso do vagão em função de   a,  b,  g   e   H usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

A Figura mostra um vagão subindo livremente uma rampa fixa  de inclinação  a  com a horizontal.  Fixo ao seu teto  se encontra um pêndulo, que permanece estacionário em relação ao vagão, sem oscilar, durante todo o movimento.  Sabendo que a gravidade local vale g  e  o coeficiente de atrito cinético entre a rampa e o vagão vale  m,  pede-se determinar a inclinação  b  (b > a)  do fio   com a  vertical   durante a subida do vagão em movimento retardado usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

A Figura mostra um carro de massa m, que move-se ao longo de uma pista horizontal  cujo coeficiente de atrito  estático com as rodas vale m . Atrito de escorregamento só é considerado na roda motriz; atrito de rolamento é desprezado. Supõe-se que o motor possa desenvolver força de tração de sobra. Determinar a maior aceleração do veículo na partida, na hipótese de tração só traseira usando o Referencial não inercial, aliado ao Princípio da Equivalência.

( No Capítulo 4 desse livro, constam as questões de número 123 até a questão 142, estando a maior parte delas resolvidas ao final do livro )Trata-se de um Mina de Ouro para Vestibulandos IME ITA e amantes da Física.
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