Demonstrativo do Capítulo 5

DINÂMICA CURVILÍNEA  NO REFERENCIAL  NÃO INERCIAL

Nos capítulos 2 e 4, aprendemos que as forças podem ser classificadas em  forças de interação  e  forças de inércia.

Forças de Interação são aquelas que decorrem da interação direta (forças de contato) ou indireta (forças de campo) entre dois corpos, surgindo sempre aos pares, em acordo com a 3ª lei de Newton (Ação e Reação). Usando uma linguagem mais simples, são as forças comuns que usualmente se estuda no Ensino Médio, tais como a força gravitacional (peso, por exemplo), a força elétrica, a força magnética, o atrito, a normal N, a força elástica, o empuxo  etc.

Forças de Inércia são forças fictícias.  Elas surgem apenas quando efetuamos uma mudança de um referencial inercial para um referencial não inercial com base no Princípio da Equivalência de Einstein.   Elas não existem  no referencial inercial,  só agindo  nos referenciais não inerciais (acelerados).

Sempre que efetuamos uma mudança de um referencial inercial para um referencial acelerado em translação retilínea com aceleração a, a força de inércia  “M.a”, que surge nesse contexto, é chamada de “força de Einstein” e esteve presente em todos os exemplos resolvidos e propostos do capítulo 4.

Por outro lado, quando efetuamos uma mudança de um referencial inercial para um referencial não inercial dotado de movimento de rotação uniforme, animado de aceleração exclusivamente centrípeta a = w².R, a força de inércia  que surge nesse contexto (M.a = M.w².R) é chamada de força centrífuga e será discutida  no presente capítulo.

Além da força de Einstein  e da centrífuga,  também podemos citar as forças de Euler  e Coriolis,  cuja aplicação prática na resolução de problemas é bastante restrita, fugindo  dos objetivos do presente livro de Mecânica.  

A força centrífuga é uma força de inércia que age apenas em referenciais  não inerciais  dotados de aceleração centrípeta, isto é, referenciais em rotação.  Para uma melhor compreensão, consideremos o exemplo a seguir.

Exemplo Resolvido 19:  a figura mostra um carrossel de raio r = 1,5 m  girando em torno do seu eixo central. Um mastro fixo à sua periferia suporta um pêndulo de comprimento L = 10 m que gira solidário ao carrossel, formando um ângulo a constante com a vertical, tal que sena = 0,6. (g = 10 m/s²). Determine a velocidade angular w de rotação do sistema.

1ª Solução – Análise no Referencial Inercial – Terra

Para um referencial (observador)  fixo à Terra (Figura 100), todo o conjunto “carrossel + mastro + pêndulo”   está girando  com velocidade angular  w  em torno do eixo de rotação central.  A esfera do pêndulo, portanto, está executando um MCU de  raio  R = r + L.senaa,  dotada de aceleração centrípeta actp = w².R  no referencial da Terra, sob ação exclusiva das forças  peso P e tração T.

A aceleração centrípeta a_ctp que a esfera do pêndulo possui, no referencial da Terra (Figura 102), equivale, no referencial  do carrossel, a uma  “gravidade centrífuga”  de mesmo valor (w².R), mesma direção (radial) e sentido contrário ao da aceleração centrípeta, que será  “abandonada” (Figura 103). 

Figura 102 – no referencial inercial da Terra, o pêndulo está se movendo em MCU animado de aceleração centrípeta actp.	Figura 103 – no referencial não inercial do próprio pêndulo, este não possui nem velocidade nem aceleração. Nesse referencial, essa  actp  é sentida como uma gravidade centrífuga (que foge do centro).	Figura 104 – a gravidade centrífuga é radial e aponta para fora da curva em cada ponto, causando uma força gravitacional fictícia, denominada  força centrífuga.

A  gravidade centrífuga  g_ctfg  é radial e aponta para fora da curva em cada ponto da curva (Figura 104), causando uma força gravitacional fictícia  denominada  força centrífuga F_ctfg, que só existe no referencial animado de movimento circular, como mostra a Figura 101.  Assim, nesse referencial, todos os corpos de massa  m  que se encontrem a uma distância R do eixo de rotação, ficarão sujeitos a uma força radial  para fora (centrífuga), de intensidade:

F_ctfg  =  m. g_ctfg   =   m.(w².R)           (eq 76)

Para o observador não inercial (Figura 101), o pêndulo se encontra em equilíbrio (relativo) estático no referencial do carrossel, o que permite escrever:

equilíbrio vertical:   Ty = P Þ    T.cosa = m.g                    (eq 77)

equilíbrio radial:    Tx = F_ctfg   Þ   T.sena =  m.w².R            (eq 78)

Comparando-se as relações  eq74  e  eq75,  obtidas pelo referencial inercial  com as relações  eq77 e eq78, obtidas pelo referencial  em rotação,  vemos que ambos chegam às  mesmas relações matemáticas e, portanto, aos mesmos resultados, embora cada um se apóie em argumentos diferentes.

A tabela abaixo sintetiza a visão de cada referencial sobre  a situação física em análise nas Figuras 100 e 101:

Note que a presença de força centrífuga  e  de uma força resultante centrípeta  num  mesmo referencial  é uma incongruência conceitual.  Afinal, enquanto a resultante centrípeta só existe no referencial inercial (Figura 100),  a força centrífuga,  por sua vez, só existe no referencial não inercial em rotação
(Figura 101).

Vale ressaltar também que, por se tratar de uma força de inércia, a força centrífuga não decorre da interação de dois corpos e, portanto, não admite uma  “força de reação”  (propriedade 11, página 105).  Portanto, em qualquer situação em que a força centrífuga esteja presente,  nenhuma outra força será a “reação à força centrífuga”.

Outro aspecto interessante e vantajoso da análise do problema no referencial não inercial é que ela torna mais claros alguns comportamentos do sistema cuja compreensão não é nada intuitiva quando analisada no referencial inercial. Por exemplo, é conhecido o fato de que, quanto maior for a velocidade angular w de rotação do pêndulo cônico, no referencial da Terra, mais ele tende a subir, levando a um aumento do ângulo a, mostrado nas Figuras 100 e 101. 

Embora a justificativa para esse fato seja meio enigmática  no referencial da Terra (Figura 100), essa tendência de subida do pêndulo fica absolutamente clara quando o problema é analisado no referencial  girante (Figura 101), no qual o aumento da velocidade angular w  leva ao crescimento da força centrífuga  m.w².R  e, conseqüentemente,  ao  crescimento do ângulo a.  Idéias semelhantes podem ser utilizadas  em uma nova análise dos problemas de aplicação  de números  111  a  115  no referencial  não inercial em rotação, fazendo uso do conceito de força centrífuga. Você seria capaz de retornar a esses problemas e analisá-los no referencial acelerado ?

Exemplo Resolvido 20: um Mondeo de massa M = 1200 kg se desloca com velocidade escalar constante, fazendo uma curva de raio R = 20 m num solo plano horizontal. Sabendo que o coeficiente de atrito estático e cinético entre os pneus e o solo valem, respectivamente, me = 2,0  e  mc = 1,8  determine:

a)    qual a maior velocidade com que o carro pode fazer a curva sem derrapar ?

b)    A força de atrito que age no carro, quando a curva é feita a 36 km/h  ?

c)    A força de atrito que age no carro, se ele atingir uma velocidade
de 108 km/h  ?

1ª Solução – Análise no Referencial Inercial

Faremos a análise, considerando o veículo como puntiforme, desprezando as suas dimensões, a fim de evitar  o uso  de  conceito de momento de uma força. Uma análise mais elaborada, incluindo a possibilidade de o carro tombar (capotar) será feita adiante na página 159,  exemplo resolvido 25.

Figura 105  -  Diagrama das forças que agem no carro, no referencial inercial

Como estamos analisando esse movimento no referencial inercial (Terra), nenhuma força de inércia (tal como a centrífuga) estará presente. Adiante, analisaremos o problema no referencial não inercial do próprio carro. Assim,  no referencial da Terra, agirão sobre o veículo  apenas as forças  normal  N  e peso P na vertical (Figura 105), bem como uma força de atrito radial, que fornecerá a aceleração centrípeta actp  necessária para esse MCU.  

Conforme aprendemos no estudo da Dinâmica de um MCU no plano horizontal (eq8 e eq9, página 70), a dinâmica do movimento desse veículo é facilmente equacionada da seguinte forma: 

equilíbrio vertical:   N = M.g        (eq 79)

Na direção radial, a força de atrito estático (estático, pois o pneu rola no solo sem escorregar, sem derrapagem) proverá a aceleração ctp  necessária para esse MCU, com base na 2ª lei de Newton:

FRctp  =  M. actp    Þ     Fat_e  =       (eq 80)

Essa relação eq80 acima pode ser denominada “condição para se manter na curva sem derrapar”.  Se ela for satisfeita, o carro se mantém na curva. Caso contrário, no referencial inercial, o carro derrapa e tende a sair na direção tangente, por inércia.

Sendo estática a força de atrito trocada entre os pneus e o chão, sua intensidade pode variar numa certa faixa de valores, podendo crescer até atingir um certo valor máximo, sem que haja escorregamento relativo entre as superfícies do pneu e do solo. Esse limite máximo que a força de atrito pode atingir é dado por:

                                                                       Fat _e  £  me. N      (eq 81)

A condição acima é obrigatoriamente satisfeita pela força de atrito, independente-mente da condição eq80 ser satisfeita ou não; mas o que isso significa ?

Suponha que, para uma velocidade v₁,  uma certa força de atrito Fat_e1 é requerida para fornecer a  aceleração centrípeta actp₁  necessária para manter o carro nessa curva (Figura 105).

Agora, admita que a velocidade do carro aumente  para um valor v₂  tal que 
v₂ = 2.v₁.  Nesse caso, a aceleração centrípeta actp₂,  requerida para manter o carro na curva, agora será quatro vezes maior do que antes (actp₂  = 4.actp₁ ),  o que demandará uma força de atrito radial  Fat_e2  quatro vezes maior do que antes para satisfazer a condição eq80, isto é, para o carro se manter na curva sem derrapar. A pergunta que se faz é: nesse caso, o carro ainda se manterá na curva ou derrapará ? 

Ora, à medida que a velocidade  v  do carro vai sendo aumentada, ele se manterá na curva (sem derrapar), enquanto a  força de atrito  requerida pela condição eq80  ainda satisfizer a condição eq81. Se o carro atingir uma velocidade  v  tão grande que, para mantê-lo  na pista sem derrapar, a força de atrito  (que age com centrípeta)  requerida pela condição  eq80 fosse  maior que Fat_max = me.N, violando a relação eq81, lamentaremos bastante:  nesse caso, o carro derrapará e sairá da curva; a condição eq81 continuará sendo satisfeita  enquanto  eq80  falhará.

Isso ocorre pelo fato de que a força de atrito estática é limitada, podendo sua intensidade aumentar somente até um certo valor-limite (eq 81), acima do qual o escorregamento entre as superfícies em contato será inevitável.

Assim, substituindo eq79  e  eq80  em  eq81, vem:

Fat _e  £  me. N          Þ           £  me. M.g      Þ      v £     (eq 82)

Assim, o fato de a força de atrito estática  (que age como resultante centrípeta)   ser limitada  acaba impondo  um limite superior à velocidade com que o carro poderá descrever a curva  de forma segura, isto é, sem derrapagem.

a)  Para m_e = 2,0 ,  R = 20 m  e  g = 10 m/s²,  usando eq82, vem:       v £    Þ     v  £      Þ      v £ 20 m/s

A  máxima velocidade  do carro na curva, para que não ocorra derrapagem, será  v_max = 20 m/s = 72 km/h.

b)  Sendo 36 km/h  = 10 m/s  uma velocidade inferior  à velocidade máxima permitida (72km/h = 20 m/s) para que não haja derrapagem,  vemos que o carro  descreverá a curva de forma segura e a força de atrito que estará agindo no carro será dada pela relação  eq80 :

                                    Fat_e  =    =   =   6000 N

c)  Sendo 108 km/h  = 30 m/s  uma velocidade superior à velocidade máxima permitida (72km/h = 20 m/s) para que não aja derrapagem,  vemos que o carro  derrapará e, nesse caso, o Fat será cinético, dado por:

                                   Fatc =  mc. N =  mc. M.g =  1,8 . (1200).(10) = 21.600 N

2ª Solução – Análise no Referencial Não Inercial :  agora, faremos a análise no referencial do próprio carro.  Logicamente, nesse referencial, o carro não possui velocidade nem aceleração alguma.  Todo o cenário ao redor do carro, incluindo a pista, é que está girando ao redor do dele no seu próprio referencial.

(.....)

Essa amostra acima  é o conteúdo teórico que consta da pág 138 a 143. 

No livro, a teoria desse capítulo continua até a página 164, sendo repleta de exemplos resolvidos comentados.
Trata-se de um Mina de Ouro para Vestibulandos IME ITA e amantes da Física.

Exemplo Resolvido 22: considere o veículo de massa m percorrendo uma curva inclinada, de ângulo a, com raio R constante, a uma velocidade v. Supondo que o coeficiente de atrito dos pneus com o solo seja m, calcule a máxima velocidade com que este veículo pode percorrer esta curva, sem deslizamento.

1ª  Solução -  No Referencial Não Inercial do Veículo (......)  2ª  Solução no Referencial  Inercial da Terra (......)

A lista de exercícios propostos desse Capítulo é uma mina de ouro para vestibulandos IME ITA. 

Abaixo segue apenas a questão 144.  A lista de casa no livro vai até a questão 150.

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O piloto  Alexandre Barros foi o vencedor do último GP da Espanha na categoria 250 cc de moto-velocidade. Durante os treinos, pilotando sua moto num trecho em curva de raio 180 m, o piloto percebeu que os pneus perdem a aderência ao solo, quando ele tenta se equilibrar na curva, inclinando a moto com um ângulo inferior a 27° com a horizontal. Sabendo que a massa total do piloto com a moto vale 600 kg, o prof. Renato Brito pede para você determinar:

a) o coeficiente de atrito estático entre os pneus da moto e o asfalto;

b) a máxima velocidade com que o piloto pode descrever essa curva com segurança.

c) a velocidade com que o piloto descreve a curva, quando mantém uma  inclinação de 45° com a horizontal.

d) a intensidade da força de atrito que atua na moto, quando mantem uma  inclinação de 45° com a horizontal.

Dado:  tg 27° = 0,5     g = 10 m/s²

( .... )