Demonstrativo do Capítulo 6

A  PARÁBOLA DE SEGURANÇA

 Tópico Especial  1

A  parábola de segurança  (ps) é uma ferramenta poderosa e  muito interessante  que resolve, de forma simples e elegante, problemas de máximos e mínimos, envolvendo lançamentos de projéteis  que, de outra forma, seriam solucionados  com um enorme trabalho algébrico, regado  a  cálculo diferencial.

Ela é citada em listas de exercícios de muitos livros de Mecânica universitários, bem como nos livros da renomeada Editora Mir-Moscou, mas a sua teoria detalhada, envolvendo descrição de todas as suas  propriedades, bem como as respectivas demonstrações, é rara. 

Assim, visando a  divulgar essa  ferramenta tão poderosa  e tão útil   para que seja  utilizada  por um número cada vez maior de estudantes brasileiros, achei  oportuna a publicação  desse tema neste livro, descrevendo e  demonstrando cada uma das suas propriedades, bem como ilustrando  as aplicações práticas dessa  ferramenta.
 

Considere um lançador de projéteis, localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XY (Figura 1), disparando projéteis com velocidade  inicial V_o constante, mas sob diferentes ângulos de disparo  a  com a horizontal, variando gradativamente no intervalo 0^o < a < 180^o. Para cada ângulo a, a trajetória seguida pelo projétil  é uma parábola que parte da origem, atinge uma altura máxima e retorna ao solo horizontal, como mostrado na Figura 1. 

O movimento parabólico de um projétil pode ser interpretado como a superposição de dois movimentos ortogonais mais simples:  (1) um MRU  na horizontal  (visto que o projétil  move-se na ausência de forças horizontais); (2) e  um MRUV  na direção vertical  sob ação  exclusiva da força peso,  que  fornece a aceleração  constante  da gravidade  a = g.  A cinemática de  cada um desses movimentos permite escrever  as suas respectivas funções horárias da posição  em cada eixo:

X  =  V_o .cosa.t                                 (eq1)

Y  =  V_o .sena.t  -           (eq2)

Para determinar a equação  da trajetória parabólica seguida pelo projétil,  devemos  encontrar  uma relação  entre as coordenadas  Y e X   independente  do  parâmetro  t  que,  para isso,  precisa ser eliminado das equações eq1 e  eq2   acima.  Isolando  t  na  relação eq1  e  substituindo  na relação  eq2,  vem:

Y  =  ( tga) . X   -       (eq3)

Equação geral da trajetória do projétil

A expressão acima é  a  equação geral  da  trajetória  descrita por um projétil lançado com velocidade inicial V_o,  formando um ângulo a  com a horizontal, num campo gravitacional uniforme  g. 

Figura 1 – Família de  trajetórias  parabólicas descritas por projéteis  que  foram disparados da origem  do sistema de coordenadas  com  velocidade de disparo V_o   constante  sob  cada um dos seguintes  ângulos  de disparo   a :   15^o,  30^o, 45^o,  60^o, 75^o,  85^o, 95^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o  e  165^o.

Efetuando-se uma sequência de disparos sob ângulos a progressivamente maiores, variando no intervalo  0^o < a < 180^o, obteremos uma família de trajetórias parabólicas que têm, em comum, a velocidade de disparo V_o , sendo, cada uma delas, descrita pela equação eq3.

Figura 2 -  Todas as trajetórias parabólicas  de projéteis  disparados  com  mesma velocidade inicial  V_O   ,  mas  sob ângulos  de disparos  variados,   tangenciam  internamente   uma parábola  envolvente, denominada  parábola de segurança.

Curiosamente, essa família de parábolas, que têm em comum a mesma velocidade de disparo V_o,  tangencia uma parábola envolvente, que é única para cada valor de V_o, denominada “parábola de segurança”, como mostra a
Figura  2.

A expressão  “parábola de segurança” advém do fato de que ela define o lugar geométrico dos pontos do plano XY que jamais serão atingidos pelo lançador, ao efetuar disparos com aquela velocidade V_o característica daquela PS. O conjunto de todos os pontos externos a essa parábola de segurança constituem a chamada  “zona de segurança”  dessa  PS, como mostra a Figura 3. 

Figura 3 -  pontos localizados na zona externa à parábola de segurança (PS) não são alcançados  por esse lançador, quando dispara projéteis com a velocidade V_O característica  dessa  PS.

Seja um lançador, localizado na origem (0, 0) do plano cartesiano, disparando  projéteis com velocidade de módulo V_O constante, porém, sob ângulos a variáveis.  Inicialmente, desejamos responder  à  seguinte pergunta:

dado um ponto  P  qualquer, do plano cartesiano, localizado nas coordenadas (X_P , Y_P), com qual ângulo a o lançador deverá efetuar o disparo a fim de atingir aquele ponto ?

Para determinar o ângulo a, vamos impor que a trajetória do projétil (dada pela equação eq3) efetivamente passe pelo ponto P. Para isso,  fazemos  X = X_P  e 
Y = Y_P  na  relação  eq3 :

Y_P  =  ( tga) . X_P -  ,    mas   .

Y_P  =  ( tga) . X_P  - .  Isolando a variável  tga,  vem :

(tga)²  -  .tga   +     =  0           (eq4)

Essa  equação do 2^o grau na variável a fornecerá os valores do ângulo de disparo a  para os quais  o projétil, efetivamente, passa pelo ponto P.  Entretanto, dependendo das coordenadas (X_P, Y_P) desse ponto, porém, três situações possíveis  podem ocorrer:

A  parábola de segurança é o lugar geométrico (L.G.) dos pontos X_P,Y_P do plano,   os quais são atingidos pelo lançador sob um único ângulo  a  de disparo.  Em outras palavras, ela é o L.G. dos pontos X_P, Y_P  para os quais a equação do
2º grau eq4 na variável a  só apresenta uma  única solução distinta (Figura 5). 

Portanto, para determinar  esses pontos  X_P, Y_P  ,  devemos  impor  a condição..........

 

( .... a teoria continua no livro....... )

Cada lançador possui “uma e somente uma ” parábola de segurança (ps) para  “cada velocidade V_O de disparo”. Isso significa que, para uma sucessão de velocidades de disparo V_o < V₁ < V₂ < V_3, haverá suas respectivas parábolas de segurança ps_0,  ps₁, ps₂, ps_3, sendo que cada uma delas é mais abrangente que  a sua antecessora. Em outras palavras, quanto  maior a velocidade de disparo V_o   da  parábola de segurança, mais abrangente (mais alta e larga) ela será.

Figura 12

Suponha que  um lançador  deseje  atingir  um alvo representado pelo ponto  P  na Figura 12. Digamos que, para atingir essa meta, seja estipulada uma velocidade V₁ de disparo para esse lançador, ficando automaticamente determinada  a sua parábola de segurança ps₁ (envoltória de todas as trajetórias parabólicas que partem do lançador com a mesma  velocidade de disparo V₁  sob ângulos variáveis)  dada  pela relação eq5. 

Admita que, conforme ilustrado na Figura 12,  esse ponto P  seja, casualmente,  externo  a  essa parábola de segurança ps1, indicando que  a velocidade V₁  desses disparos é insuficiente  para atingi-lo, independentemente do ângulo de disparo.

Isso nos leva a crer que, para atingir seu objetivo, o lançador deverá aumentar  a velocidade de disparo de V₁ para V₂ e, assim, passar de uma envoltória ps₁   para  uma envoltória ps2 mais abrangente do que sua antecessora, como mostra a Figura 13.

Admita, porém, que o aumento de velocidade de V₁ para V₂ ainda tenha sido insuficiente, visto que  o ponto  P a ser atingido ainda é externo à envoltória ps₂   da velocidade de disparo V₂, como mostra a figura 13.

Figura 13

Isso indica que a velocidade de disparo V₂ ainda precisa ser gradativamente  aumentada, tornando a sua envoltória (ps₂) mais e mais abrangente, até que,  para uma dada velocidade de disparo V_3, sua envoltória (ps₃) estará  suficientemente ampla e, finalmente, tocará o ponto pretendido P, como mostra a Figura 14.

( .... a teoria continua no livro....... )

Seja um plano inclinado de inclinação a com a horizontal cuja origem se encontra nas coordenadas (0, 0) de um sistema cartesiano XY. O lançador, localizado nessa origem (0, 0) dispara projéteis com velocidade V_O constante sob ângulos de disparo q variáveis, como mostra a Figura 17. 

Pela Propriedade 1 da parábola de segurança, estudada anteriormente, o  alcance máximo que esse lançador pode atingir, ao longo desse plano inclinado,  é dado pelo comprimento OP na Figura 17, onde P é o ponto de interseção  do  plano inclinado com a parábola de segurança associada àquela velocidade  V_o  daquele  lançador.

A pergunta-chave, no contexto acima,  é: nessas condições, sob qual  ângulo de disparo  q  o lançador deve  atirar  a  fim de alvejar  esse  ponto P  pertencente à parábola de segurança ? Fica subentendido que o disparo será realizado com a  velocidade V_o associada àquela PS.

( .... a teoria continua no livro....... )

Exemplo Resolvido 1:  um prédio de 25 andares  está em chamas e, dadas as grandes proporções do incêndio, o caminhão do corpo de bombeiros só  consegue chegar a uma proximidade  d = 20 m  da base do prédio. Se a água desse esguicho é lançada com uma velocidade inicial v_O = 20 m/s, o Prof. Renato Brito pede que você determine a altura h da janela mais alta, que poderá ser atingida pelo jato dágua.  Despreze a altura inicial  do jato dágua, admitindo que ele parte do solo  e  use  g = 10 m/s². 

Solução

Seja r a reta vertical que contém a parede frontal do prédio (Figura 11), descrita pela equação analítica x = 20. Esse problema de lançamento de projéteis solicita   que seja determinada a ordenada y do ponto p “limite” (mais alto) dessa reta que ainda pode ser atingido pelo lançador (jato d’água parabólico).  

Observando a Figura 2 novamente, vemos que, para solucionar esse problema,   é suficiente determinar sobre qual ponto da parede do prédio passará a envoltória (P.S.) de todas as parábolas daquele lançador com velo