Demonstrativo do Capítulo 7

VÍNCULOS GEOMÉTRICOS

 Tópico Especial  2

Quando dois corpos A e B movem-se livremente, seus movimentos ocorrem de forma independente e estão meramente sujeitos às leis da Mecânica.  Quando esses corpos se movem vinculados entre si, contudo, seus movimentos deixam de ser independentes e a geometria envolvida impõe restrições que devem ser satisfeitas em função do tipo de conexão entre os corpos (fios, polias móveis, polias fixas etc). Essas restrições recebem o nome de  vínculos geométricos.

As relações cinemáticas que decorrem exclusivamente desses vínculos geométricos, aliadas às leis da Mecânica, constituirão as ferramentas disponíveis para o estudo analítico dos problemas da  Dinâmica.  

O uso exclusivo das leis de Newton do movimento, ignorando as relações cinemáticas oriundas dos vínculos geométricos, torna o número de incógnitas maior do que o número de equações disponíveis para a análise do problema, inviabilizando a sua solução.

Nesse tópico especial, o prof. Renato Brito abordará os vínculos geométricos mais comuns em problemas de Mecânica.

A Figura 1 mostra duas caixas A e B que se movem numa mesma direção  (movimento unidimensional), conectadas entre si por meio de um fio ideal inextensível. O vínculo geométrico (imposto pelo fato de o fio não esticar)  garante que as caixas A e B sempre sofrerão deslocamentos idênticos
(dx_A = dx_B), tanto pelo fato de as caixas se moverem na mesma direção do fio quanto pelo fato de uma caixa puxar a outra, o que mantém o fio permanentemente tracionado (esticado)  durante o movimento.

Figura 1 – as caixas movem-se na mesma direção do fio, enquanto uma puxa a outra. Como o fio não estica, suas extremidades sempre sofrem deslocamentos idênticos.

Na Figura 1, o vínculo geométrico garante que o movimento de uma das caixas será a cópia fiel do movimento da outra. Elas sofrerão deslocamentos necessariamente iguais, em qualquer intervalo de tempo, e  se moverão com velocidades e acelerações identicas  (v_A = v_B,  a_A = a_B) em qualquer instante.

Figura 2– as caixas move-sem na mesma direção do fio, enquanto uma caixa puxa a outra. Como a polia é fixa e o fio não estica, suas extremidades sempre sofrerão deslocamentos iguais e opostos.

O mesmo vínculo geométrico da Figura 1 também garante que as caixas da Figura 2, conectadas entre si por meio de um fio inextensível que passa por uma polia fixa, sempre sofrerão deslocamentos idênticos (apesar de opostos) em qualquer intervalo de tempo dt infinitesimal, de forma que as caixas
apresentarão velocidades e acelerações de mesmo módulo em cada instante 
(v_A = v_B,  a_A = a_B).

Análise Matemática do vínculo  geomérico da Figura 2

A Figura 2 mostra dois instantes sucessivos ( t  e  t + dt )  do movimento do sistema. 

O vínculo geométrico em questão  é o fato de que o comprimento total do fio que conecta as caixas A e B, passando através da polia fixa, permanece inalterado no decorrer do tempo, o que permite escrever:

No instante t:              L_A   +   L_B   =   K   (constante)        (eq1)

No instante t + dt  :     L_A’   +   L_B’   =   K   (constante)      (eq2)

Subtraindo as equações, membro a membro, obteremos a relação entre os deslocamentos  dL_A    e  dL_B  de cada caixa no intervalo de tempo infinitesimal  dt:

L_A’ - L_A   +    L_B’ - L_B   =  K  -  K       Þ      dL_A   +   dL_B   =  0     (eq3)   

A expressão eq3  afirma que as caixas  A e B  sempre sofrem deslocamentos escalares dL  iguais em módulo, porém de sinais contrários.

O sinal algébrico do deslocamento dL_A será positivo, caso a caixa A se desloque a favor do eixo L_A  (Figura 2) e, negativo, caso ela se mova no sentido contrário desse eixo. O mesmo é válido para o sinal do deslocamento dL_B sofrido pela caixa B, ao longo do respectivo eixo L_B (Figura 2). Considerando que, na
Figura 2, a caixa A subiu enquanto B desceu, teremos dL_A < 0 e dL_B > 0, o que justifica a soma  dL_A + dL_B  ser nula  conforme  a relação  eq3.

dL_A   +   dL_B   =  0     Þ          Þ    v_A  +  v_B  = 0   (eq4)

A expressão eq4  afirma que as caixas  A e B  têm velocidades iguais em módulo, em qualquer instante, embora tenhamos  v_A < 0  (caixa A move-se contra o eixo L_A)   e  v_B > 0  (caixa B move-se a favor do eixo L_B).

v_A  +  v_B   =  0     Þ     v_A  = -v_B        Þ       |v_A|  = |v_B|     (eq5)

Para determinarmos a relação cinemática entre as acelerações instantâneas de A e B, podemos partir da relação eq4  novamente:

No instante t:              v_A   +   v_B   =   0     (eq6)

No instante t + dt  :     v_A’   +   v_B’   =   0    (eq7).

Subtraindo as equações, membro a membro, obteremos a relação entre as variações  de velocidade de  cada caixa no intervalo de tempo infinitesimal  dt:

v_A’ - v_A   +    v_B’ - v_B   =  0

dv_A   +   dv_B   =  0     Þ         Þ    a_A  +  a_B  =  0     (eq8)

A expressão eq8  afirma que as caixas  A e B  têm acelerações iguais em módulo, em qualquer instante, porém sentidos contrários. 

a_A  +  a_B    =   0     Þ     a_A  =  -a_B        Þ       |a_A|  = |a_B|     (eq9)

Assim, o vínculo geométrico, decorrente do fato de que o comprimento
“L_A + L_B”  do fio  permanece constante no tempo, nos levou às seguintes relações cinemáticas para o sistema da Figura 2:

dL_A   +   dL_B   =  0     Þ    |dL_A|  = |dL_B|       (eq 10)    

v_A    +    v_B    =   0       Þ    |v_A|  = |v_B|      (eq 11)

a_A    +    a_B   =   0      Þ    |a_A|  =  |a_B|       (eq 12)

Na Figura 3, vemos 2 caixas A e C conectadas entre si por meio de um longo fio  inextensível, que passa por uma polia móvel suspensa. Uma terceira caixa B está supensa por um fio  ao eixo dessa polia.

dL_A   +   2.dL_B   +   dL_C  =  0      Þ       (eq 24)

v_A   +   2.v_B   +   v_C  =  0       Þ              (eq 25)

a_A   +   2.a_B  +  a_C  =   0       Þ           (eq 26)

Nesse ponto, é importante o leitor observar  a semelhança  entre as relações eq24,  eq25  e  eq 26  acima.

Regra Prática de Derivação: em geral, quando a relação entre os deslocamentos infinitesimais é linear e envolve apenas coeficientes reais constantes (dL_A +  2.dL_B + dL_C  =  0), a correspondente relação entre as velocidades instantâneas pode ser obtida facilmente substituindo-se dL  por  v  (v_A + 2.v_B + v_C = 0)  e a relação  entre as acelerações  instantâneas, substituindo-se   v   por   a   (a_A  +  2.a_B  +  a_C  =   0). 

Podemos facilmente generalizar  o raciocínio  usado na  explicação da Figura 4  para os casos das Figuras  5 e  6  abaixo da seguinte forma: 

Sempre que as  caixas A e C sofrerem deslocamentos x_A  e  x_C   que levem o cordão a adqurir uma folga  “x_A + x_C”  (como ocorre nas Figuras 5 e 6),  a polia suspensa envolta por esse cordão, assim como a caixa B presa a ela, se deslocará apenas a metade dessa folga, conforme explicado em detalhes na Figura 4.  Matematicamente, vem:

x_B  =        Þ       x _B  =      (eq 27)

As relações eq27, eq28 e  eq29, que  se aplicam aos sistemas das Figuras 5, 6  e 7,  foram determinadas de modo mais prático e menos formal do que as suas equivalentes  eq15, eq20  e  eq23.

Adicionalmente, são mais fáceis de serem utilizadas do que suas equivalentes, pois tratam automaticamente dos módulos das grandezas cinemáticas, sem requerer uso de sinais algébricos e eixos orientados.

Seguindo o mesmo princípio utilizado nas Figuras 5 e 6, o prof. Renato Brito pode facilmente encontrar as relações cinemáticas que decorrem dos vínculos geométricos presentes no sistema da Figura 8  a seguir.

Na Figura 9 adiante, a caixa  A  sofrerá um deslocamento x_A  para a esquerda, acarretando um correspondente deslocamento x_B  à  segunda caixa no mesmo sentido. Qual a relação entre as grandezas cinemáticas dessas duas caixas ?

Mais uma  vez, determinaremos  as relações cinemáticas de maneira informal  e prática, usando o vínculo geométrico  associado ao fato de que o comprimento do fio permanece constante (L_inicial = L_final ) durante o deslocamento das caixas.  O comprimento  do   fio  na  Figura 9a  vale:

Finalmente, empregando mais uma vez a regra prática de derivação, podemos substituir   v  por  a   em eq 31:

              3.a_B  =  2.a_A       (eq 38)

As expressões eq36, eq37 e eq38 relacionam os deslocamentos, as velocidades instantâneas e as acelerações instantâneas das caixas A e B, em qualquer instante do movimento desse sistema, e só podem ser determinadas a partir desses argumentos geométricos.

Na Figura 10a, vemos um prisma reto de base triangular isósceles, apoiado sobre dois cubos idênticos. Quando o prisma é abandonado do repouso, ele passa a descer verticalmente, percorrendo uma distância vertical  y, ao mesmo tempo dt, em que cada cubo percorre uma distância horizontal  x.  (Figura 10b)

Finalmente, empregando, mais uma vez, a regra prática de derivação, podemos
substituir  V  por   a   em eq 34:

ax  =  ay . tga     (eq 41)

A expressão acima relaciona a aceleração dos cubos (ax)  com a aceleração de descida (ay) do prisma em qualquer instante do movimento. Mais uma vez, enfatizamos que as expressões eq 39, eq40 e  eq41 só podem ser determinadas a partir desses argumentos geométricos.

Considere a situação da Figura 11a, em que uma caixa se encontra apoiada sobre a superfície inclinada de um prisma, que pode se mover ao longo de uma superfície horizontal.

A caixa encontra-se conectada à parede vertical por meio de um fio inextensível, que passa por uma polia com dimensões desprezíveis. Se o sistema for abandonado a partir do repouso, o prisma adquirirá uma aceleração horizontal  ®a  para a direita, no referencial da Terra (inercial). 

A seguir, o prof. Renato Brito determinará a aceleração da caixa em relação  à Terra, em função da aceleração a  do prisma. Seja L o comprimento do trecho ABC do fio na Figura 11a.  A geometria da Figura 11b permite escrever:

Do exposto, concluímos que, sempre que o prisma se deslocar  x  ®  para a direita,  a caixa sobre a rampa se deslocará  x.sena  na direção CE  (Figura 11c)  e  x.(1-cosa) na direção EF, deslocamentos esses sempre tomados  em  relação  à  Terra.

Finalmente,  podemos dizer que:

Conclusão

Se o prisma (Figura 11d) apresentar uma aceleração horizontal  ®a  para a direita,  no referencial da Terra, a caixa  apresentará  as acelerações  a.sena  na direção CE   e  a.( 1-cosa)   na direção EF, todas em relação à Terra (referencial inercial).

Claudete, os resultados que acabamos de obter são conseqüências do vínculo geométrico e só podem ser obtidos a partir desses argumentos geométricos. Em outras palavras, é impossível se chegar a esses resultados fazendo uso exclusivo das relações entre forças e acelerações decorrentes das leis de Newton do movimento.

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